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Mathematik Master
Kernfächer
Für das Master-Diplom in Angewandter Mathematik ist die folgende Zusatzbedingung (nicht in myStudies ersichtlich) zu beachten: Mindestens 15 KP der erforderlichen 28 KP aus Kern- und Wahlfächern müssen aus Bereichen der angewandten Mathematik und weiteren anwendungsorientierten Gebieten stammen.
Kernfächer aus Bereichen der reinen Mathematik
NummerTitelTypECTSUmfangDozierende
401-3225-00LIntroduction to Lie Groups W8 KP4GA. Iozzi
KurzbeschreibungTopological groups and Haar measure. Definition of Lie groups, examples of local fields and examples of discrete subgroups; basic properties; Lie subgroups. Lie algebras and relation with Lie groups: exponential map, adjoint representation. Semisimplicity, nilpotency, solvability, compactness: Killing form, Lie's and Engel's theorems. Definition of algebraic groups and relation with Lie groups.
LernzielThe goal is to have a broad though foundational knowledge of the theory of Lie groups and their associated Lie algebras with an emphasis on the algebraic and topological aspects of it.
LiteraturA. Knapp: "Lie groups beyond an Introduction" (Birkhaeuser)
A. Sagle & R. Walde: "Introduction to Lie groups and Lie algebras" (Academic Press, '73)
F. Warner: "Foundations of differentiable manifolds and Lie groups" (Springer)
H. Samelson: "Notes on Lie algebras" (Springer, '90)
S. Helgason: "Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces" (Academic Press, '78)
A. Knapp: "Lie groups, Lie algebras and cohomology" (Princeton University Press)
Voraussetzungen / BesonderesTopology and basic notions of measure theory. A basic understanding of the concepts of manifold, tangent space and vector field is useful, but could also be achieved throughout the semester.

401-3001-61LAlgebraic Topology I W8 KP4GW. Merry
KurzbeschreibungThis is an introductory course in algebraic topology, which is the study of algebraic invariants of topological spaces. Topics covered include:
singular homology, cell complexes and cellular homology, the Eilenberg-Steenrod axioms.
Lernziel
Literatur1) G. Bredon, "Topology and geometry",
Graduate Texts in Mathematics, 139. Springer-Verlag, 1997.

2) A. Hatcher, "Algebraic topology",
Cambridge University Press, Cambridge, 2002.

3) E. Spanier, "Algebraic topology", Springer-Verlag
Voraussetzungen / BesonderesYou should know the basics of point-set topology.

Useful to have (though not absolutely necessary) basic knowledge of the fundamental group and covering spaces (at the level covered in the course "topology").

Some knowledge of differential geometry and differential topology is useful but not strictly necessary.

Some (elementary) group theory and algebra will also be needed.
401-3132-00LCommutative Algebra W10 KP4V + 1UE. Kowalski
KurzbeschreibungThis course provides an introduction to commutative algebra. It serves in particular as a foundation for modern algebraic geometry.
LernzielThe topics presented in the course will include:
* Basics facts about rings, ideals and modules
* Constructions of rings: quotients, polynomial rings, localization
* Noetherian rings and modules
* The tensor product of modules over commutative rings and its applications
* Krull dimension
* Integral extensions and the Cohen-Seidenberg theorems
* Finitely generated algebrais over fields, including the Noether Normalization Theorem and the Nullstellensatz
* Primary decomposition
* Discrete valuation rings and some applications
LiteraturPrimary Reference:
"(Mostly) Commutative Algebra", by A. Chambert-Loir; Springer 2021, available on the author's web page.

Secondary References:
1. "Introduction to Commutative Algebra" by M. F. Atiyah and I. G. Macdonald (Addison-Wesley Publ., 1969)
2. "Commutative algebra. With a view towards algebraic geometry" by D. Eisenbud (GTM 150, Springer Verlag, 1995)
3. "Commutative ring theory" by H. Matsumura (Cambridge University Press 1989)
4. "Commutative Algebra" by N. Bourbaki
Voraussetzungen / BesonderesPrerequisites: Algebra I/II (or a similar introduction to the basic concepts of ring theory, including field theory).
Kernfächer aus Bereichen der angewandten Mathematik ...
vollständiger Titel: Kernfächer aus Bereichen der angewandten Mathematik und weiteren anwendungsorientierten Gebieten
NummerTitelTypECTSUmfangDozierende
401-3651-00LNumerical Methods for Elliptic and Parabolic Partial Differential Equations (University of Zurich)
No enrolment to this course at ETH Zurich. Book the corresponding module directly at UZH as an incoming student.
UZH Module Code: MAT802

Mind the enrolment deadlines at UZH:

3rd year ETH BSc Mathematics and MSc Mathematics and MSc Applied Mathematics students.
Other ETH-students are advised to attend the course
"Numerical Methods for Partial Differential Equations" (401-0674-00L) in the CSE curriculum during the spring semester.
W9 KP6GS. Sauter
KurzbeschreibungThis course gives a comprehensive introduction into the numerical treatment of linear and nonlinear elliptic boundary value problems, related eigenvalue problems and linear, parabolic evolution problems. Emphasis is on theory and the foundations of numerical methods. Practical exercises include MATLAB implementations of finite element methods.
LernzielParticipants of the course should become familiar with
* concepts underlying the discretization of elliptic and parabolic boundary value problems
* analytical techniques for investigating the convergence of numerical methods for the approximate solution of boundary value problems
* methods for the efficient solution of discrete boundary value problems
* implementational aspects of the finite element method
InhaltThe course will address the mathematical analysis of numerical solution methods
for linear and nonlinear elliptic and parabolic partial differential equations.
Functional analytic and algebraic (De Rham complex) tools will be provided.
Primal, mixed and nonstandard (discontinuous Galerkin, Virtual, Trefftz) discretizations will be analyzed.

Particular attention will be placed on developing mathematical foundations
(Regularity, Approximation theory) for a-priori convergence rate analysis.
A-posteriori error analysis and mathematical proofs of adaptivity and optimality
will be covered.
Implementations for model problems in MATLAB and python will illustrate the
theory.

A selection of the following topics will be covered:

* Elliptic boundary value problems
* Galerkin discretization of linear variational problems
* The primal finite element method
* Mixed finite element methods
* Discontinuous Galerkin Methods
* Boundary element methods
* Spectral methods
* Singularly perturbed problems
* Sparse grids
* Galerkin discretization of elliptic eigenproblems
* Non-linear elliptic boundary value problems
* Discretization of parabolic initial boundary value problems
LiteraturBrenner, Susanne C.; Scott, L. Ridgway The mathematical theory of finite element methods. Third edition. Texts in Applied Mathematics, 15. Springer, New York, 2008. xviii+397 pp.

A. Ern and J.L. Guermond: Theory and Practice of Finite Element Methods,
Springer Applied Mathematical Sciences Vol. 159, Springer,
1st Ed. 2004, 2nd Ed. 2015.

R. Verfürth: A Posteriori Error Estimation Techniques for Finite Element Methods, Oxford University Press, 2013

D. Braess: Finite Elements, THIRD Ed., Cambridge Univ. Press, (2007).
(Also available in German.)

Brezis, Haim Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext. Springer, New York, 2011. xiv+599 pp.

D. A. Di Pietro and A. Ern, Mathematical Aspects of Discontinuous Galerkin Methods, vol. 69 SMAI Mathématiques et Applications,
Springer, 2012 [DOI: 10.1007/978-3-642-22980-0]

V. Thomee: Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems,
SECOND Ed., Springer Verlag (2006).
Voraussetzungen / BesonderesPractical exercises based on MATLAB

Former title of the course unit: Numerical Methods for Elliptic and Parabolic Partial Differential Equations
401-3621-00LFundamentals of Mathematical Statistics W10 KP4V + 1US. van de Geer
KurzbeschreibungThe course covers the basics of inferential statistics.
Lernziel
401-3622-00LStatistical Modelling W8 KP4GC. Heinze-Deml
KurzbeschreibungIn der Regression wird die Abhängigkeit einer zufälligen Response-Variablen von anderen Variablen untersucht. Wir betrachten die Theorie der linearen Regression mit einer oder mehreren Ko-Variablen, hoch-dimensionale lineare Modelle, nicht-lineare Modelle und verallgemeinerte lineare Modelle, Robuste Methoden, Modellwahl und nicht-parametrische Modelle.
LernzielEinführung in Theorie und Praxis eines umfassenden und vielbenutzten Teilgebiets der Statistik, unter Berücksichtigung neuerer Entwicklungen.
InhaltIn der Regression wird die Abhängigkeit einer beobachteten quantitativen Grösse von einer oder mehreren anderen (unter Berücksichtigung zufälliger Fehler) untersucht. Themen der Vorlesung sind: Einfache und multiple Regression, Theorie allgemeiner linearer Modelle, Hoch-dimensionale Modelle, Ausblick auf nichtlineare Modelle. Querverbindungen zur Varianzanalyse, Modellsuche, Residuenanalyse; Einblicke in Robuste Regression. Durchrechnung und Diskussion von Anwendungsbeispielen.
Voraussetzungen / BesonderesThis is the course unit with former course title "Regression".
Credits cannot be recognised for both courses 401-3622-00L Statistical Modelling and 401-0649-00L Applied Statistical Regression in the Mathematics Bachelor and Master programmes (to be precise: one course in the Bachelor and the other course in the Master is also forbidden).
401-4889-00LMathematical Finance W11 KP4V + 2UD. Possamaï
- semimartingales and general stochastic integration
- absence of arbitrage and martingale measures
- fundamental theorem of asset pricing
- option pricing and hedging
- hedging duality
- optimal investment problems
LernzielAdvanced course on mathematical finance, presupposing good knowledge in probability theory and stochastic calculus (for continuous processes)
InhaltThis is an advanced course on mathematical finance for students with a good background in probability. We want to give an overview of main concepts, questions and approaches, and we do this mostly in continuous-time models.

Topics include
- semimartingales and general stochastic integration
- absence of arbitrage and martingale measures
- fundamental theorem of asset pricing
- option pricing and hedging
- hedging duality
- optimal investment problems
- and probably others
SkriptThe course is based on different parts from different books as well as on original research literature.

Lecture notes will not be available.
Literatur(will be updated later)
Voraussetzungen / BesonderesPrerequisites are the standard courses
- Probability Theory (for which lecture notes are available)
- Brownian Motion and Stochastic Calculus (for which lecture notes are available)
Those students who already attended "Introduction to Mathematical Finance" will have an advantage in terms of ideas and concepts.

This course is the second of a sequence of two courses on mathematical finance. The first course "Introduction to Mathematical Finance" (MF I), 401-3888-00, focuses on models in finite discrete time. It is advisable that the course MF I is taken prior to the present course, MF II.

For an overview of courses offered in the area of mathematical finance, see Link.
401-3901-00LLinear & Combinatorial Optimization W11 KP4V + 2UR. Zenklusen
KurzbeschreibungMathematical treatment of optimization techniques for linear and combinatorial optimization problems.
LernzielThe goal of this course is to get a thorough understanding of various classical mathematical optimization techniques for linear and combinatorial optimization problems, with an emphasis on polyhedral approaches. In particular, we want students to develop a good understanding of some important problem classes in the field, of structural mathematical results linked to these problems, and of solution approaches based on such structural insights.
InhaltKey topics include:
- Linear programming and polyhedra;
- Flows and cuts;
- Combinatorial optimization problems and polyhedral techniques;
- Equivalence between optimization and separation.
Literatur- Bernhard Korte, Jens Vygen: Combinatorial Optimization. 6th edition, Springer, 2018.
- Alexander Schrijver: Combinatorial Optimization: Polyhedra and Efficiency. Springer, 2003. This work has 3 volumes.
- Ravindra K. Ahuja, Thomas L. Magnanti, James B. Orlin. Network Flows: Theory, Algorithms, and Applications. Prentice Hall, 1993.
- Alexander Schrijver: Theory of Linear and Integer Programming. John Wiley, 1986.
Voraussetzungen / BesonderesSolid background in linear algebra.

Former course title: Mathematical Optimization.
Kompetenzen
 Fachspezifische Kompetenzen Konzepte und Theorien geprüft Verfahren und Technologien gefördert Methodenspezifische Kompetenzen Analytische Kompetenzen geprüft Entscheidungsfindung geprüft Medien und digitale Technologien gefördert Problemlösung geprüft Projektmanagement gefördert Soziale Kompetenzen Kommunikation geprüft Kooperation und Teamarbeit gefördert Kundenorientierung gefördert Menschenführung und Verantwortung gefördert Selbstdarstellung und soziale Einflussnahme gefördert Sensibilität für Vielfalt gefördert Verhandlung gefördert Persönliche Kompetenzen Anpassung und Flexibilität gefördert Kreatives Denken geprüft Kritisches Denken gefördert Integrität und Arbeitsethik gefördert Selbstbewusstsein und Selbstreflexion gefördert Selbststeuerung und Selbstmanagement gefördert
Bachelor-Kernfächer aus Bereichen der reinen Mathematik
Nebst weiteren Einschränkungen gilt:
Die Anrechnung von 401-3531-00L Differentialgeometrie I / Differential Geometry I im Master-Studiengang ist nur dann zulässig, wenn 401-3532-00L Differentialgeometrie II / Differential Geometry II nicht für den Bachelor-Studiengang angerechnet wurde.
Ebenso für:
401-3461-00L Funktionalanalysis I / Functional Analysis I - 401-3462-00L Funktionalanalysis II / Functional Analysis II
401-3001-61L Algebraische Topologie I / Algebraic Topology I - 401-3002-12L Algebraische Topologie II / Algebraic Topology II
401-3132-00L Kommutative Algebra / Commutative Algebra - 401-3146-12L Algebraische Geometrie / Algebraic Geometry
Wenden Sie sich für die Kategoriezuordnung nach dem Verfügen des Prüfungsresultates an das Studiensekretariat (Link).
NummerTitelTypECTSUmfangDozierende
401-3461-00LFunctional Analysis I
Höchstens eines der drei Bachelor-Kernfächer
401-3461-00L Funktionalanalysis I / Functional Analysis I
401-3531-00L Differentialgeometrie I / Differential Geometry I
401-3601-00L Wahrscheinlichkeitstheorie / Probability Theory
ist im Master-Studiengang Mathematik anrechenbar. Die Kategoriezuordnung können Sie in diesem Fall nicht selber in myStudies vornehmen, sondern Sie müssen sich dazu nach dem Verfügen des Prüfungsresultates an das Studiensekretariat (Link) wenden.
E-10 KP4V + 1UJ. Teichmann
KurzbeschreibungBaire category; Banach and Hilbert spaces, bounded linear operators; basic principles: Uniform boundedness, open mapping/closed graph theorem, Hahn-Banach; convexity; dual spaces; weak and weak* topologies; Banach-Alaoglu; reflexive spaces; compact operators and Fredholm theory; closed range theorem; spectral theory of self-adjoint operators in Hilbert spaces.
LernzielAcquire a good degree of fluency with the fundamental concepts and tools belonging to the realm of linear Functional Analysis, with special emphasis on the geometric structure of Banach and Hilbert spaces, and on the basic properties of linear maps.
LiteraturRecommended references include the following:

Michael Struwe: "Funktionalanalysis I" (Skript available at Link)

Haim Brezis: "Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations". Springer, 2011.

Peter D. Lax: "Functional analysis". Pure and Applied Mathematics (New York). Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], New York, 2002.

Elias M. Stein and Rami Shakarchi: "Functional analysis" (volume 4 of Princeton Lectures in Analysis). Princeton University Press, Princeton, NJ, 2011.

Manfred Einsiedler and Thomas Ward: "Functional Analysis, Spectral Theory, and Applications", Graduate Text in Mathematics 276. Springer, 2017.

Walter Rudin: "Functional analysis". International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill, Inc., New York, second edition, 1991.
Voraussetzungen / BesonderesSolid background on the content of all Mathematics courses of the first two years of the undergraduate curriculum at ETH (most remarkably: fluency with topology and measure theory, in part. Lebesgue integration and L^p spaces).
401-3531-00LDifferential Geometry I
Höchstens eines der drei Bachelor-Kernfächer
401-3461-00L Funktionalanalysis I / Functional Analysis I
401-3531-00L Differentialgeometrie I / Differential Geometry I
401-3601-00L Wahrscheinlichkeitstheorie / Probability Theory
ist im Master-Studiengang Mathematik anrechenbar. Die Kategoriezuordnung können Sie in diesem Fall nicht selber in myStudies vornehmen, sondern Sie müssen sich dazu nach dem Verfügen des Prüfungsresultates an das Studiensekretariat (Link) wenden.
E-10 KP4V + 1UJ. Serra
KurzbeschreibungIntroduction to differential geometry and differential topology. Contents: Curves, (hyper-)surfaces in R^n, geodesics, curvature, Theorema Egregium, Theorem of Gauss-Bonnet. Hyperbolic space. Differentiable manifolds, immersions and embeddings, Sard's Theorem, mapping degree and intersection number, vector bundles, vector fields and flows, differential forms, Stokes' Theorem.
LernzielProvide insightful knowledge about the classical theory of curves and surfaces (which is the precursor of modern differential geometry). Invite students to use and sharpen their geometric intuition.
Introduce the language, basic tools, and some fundamental results in modern differential geometry.
SkriptPartial lecture notes are available from Prof. Lang's website Link
Literatur- Manfredo P. do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces
- John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds
- S. Montiel, A. Ros: Curves and Surfaces
- S. Kobayashi: Differential Geometry of Curves and Surfaces
- Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie. Kurven-Flächen-Mannigfaltigkeiten
- Dennis Barden & Charles Thomas: An Introduction to Differential Manifolds
Bachelor-Kernfächer aus Bereichen der angewandten Mathematik ..
Nebst weiteren Einschränkungen gilt:
Die Anrechnung von 401-3601-00L Wahrscheinlichkeitstheorie / Probability Theory im Master-Studiengang ist nur dann zulässig, wenn weder 401-3642-00L Brownian Motion and Stochastic Calculus noch 401-3602-00L Applied Stochastic Processes für den Bachelor-Studiengang angerechnet wurde.
Ausserdem ist 402-0205-00L Quantenmechanik I als angewandtes Kernfach anrechenbar, aber nur unter der Bedingung, dass 402-0224-00L Theoretische Physik (letztmals im FS 2016 angeboten) nicht angerechnet wird oder wurde (weder im Bachelor- noch im Master-Studiengang).
Wenden Sie sich für die Kategoriezuordnung nach dem Verfügen des Prüfungsresultates an das Studiensekretariat (Link).
NummerTitelTypECTSUmfangDozierende
401-3601-00LProbability Theory
Höchstens eines der drei Bachelor-Kernfächer
401-3461-00L Funktionalanalysis I / Functional Analysis I
401-3531-00L Differentialgeometrie I / Differential Geometry I
401-3601-00L Wahrscheinlichkeitstheorie / Probability Theory
ist im Master-Studiengang Mathematik anrechenbar. Die Kategoriezuordnung können Sie in diesem Fall nicht selber in myStudies vornehmen, sondern Sie müssen sich dazu nach dem Verfügen des Prüfungsresultates an das Studiensekretariat (Link) wenden.
E-10 KP4V + 1UW. Werner
KurzbeschreibungBasics of probability theory and the theory of stochastic processes in discrete time
LernzielThis course presents the basics of probability theory and the theory of stochastic processes in discrete time. The following topics are planned:
Basics in measure theory, series of independent random variables, law of large numbers, weak convergence, characteristic functions, central limit theorem, conditional expectation, martingales, convergence theorems for martingales, Galton Watson processes, Markov chains (classification and convergence results).
InhaltThis course presents the basics of probability theory and the theory of stochastic processes in discrete time. The following topics are planned:
Basics in measure theory, random series, law of large numbers, weak convergence, characteristic functions, central limit theorem, conditional expectation, martingales, convergence theorems for martingales, Galton Watson processes, Markov chains (classification and convergence results).
Skriptwill be available in electronic form.
LiteraturR. Durrett, Probability: Theory and examples, Duxbury Press 1996
H. Bauer, Probability Theory, de Gruyter 1996
J. Jacod and P. Protter, Probability essentials, Springer 2004
A. Klenke, Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer 2006
D. Williams, Probability with martingales, Cambridge University Press 1991
402-0205-00LQuantenmechanik IW10 KP3V + 2UM. Gaberdiel
KurzbeschreibungAllgemeine Struktur der Quantentheorie: Hilberträume, Zustände und Observable, Bewegungsgleichung, Heisenberg'sche Unschärferelation, Symmetrien, Drehimpulsaddition, EPR Paradox, Schrödinger- und Heisenberg-Bild.
Anwendungen: einfache Potentiale in der Wellenmechanik, Streuung und Resonanz, harmonischer Oszillator, Wasserstoffatom und Störungstheorie.
LernzielEinführung in die Einteilchen Quantenmechanik. Beherrschung grundlegender Ideen (Quantisierung, Operatorformalismus, Symmetrien, Drehimpuls, Störungstheorie) und generischer Beispiele und Anwendungen (gebundene Zustände, Tunneleffekt, Wasserstoffatom, harmonischer Oszillator). Fähigkeit zur Lösung einfacher Probleme.
InhaltDie Anfänge der Quantentheorie bei Planck, Einstein und Bohr; Wellennmechanik; Beispiele einfacher Systeme; Der Formalismus der Quantenmechanik (Zustände und Observablen, Hilberträume und Operatoren, der Messprozess); Heisenberg'sche Unschärferelation; Der harmonische Oszillator; Symmetrien (insbesondere Rotationen); Das Wasserstoffatom; Angular momentum addition; Quantenmechanik und klassische Physik (EPR Paradox und Bell'sche Ungleichung); Störungstheorie.
SkriptAuf Moodle, in deutscher Sprache
LiteraturG. Baym, Lectures on Quantum Mechanics
E. Merzbacher, Quantum Mechanics
L.I. Schiff, Quantum Mechanics
R. Feynman and A.R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals
J.J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics
A. Messiah: Quantum Mechanics I
S. Weinberg: Lectures on Quantum Mechanics
Kompetenzen
 Fachspezifische Kompetenzen Konzepte und Theorien geprüft Verfahren und Technologien gefördert Methodenspezifische Kompetenzen Analytische Kompetenzen geprüft Entscheidungsfindung gefördert Medien und digitale Technologien gefördert Problemlösung geprüft Projektmanagement gefördert Soziale Kompetenzen Kommunikation gefördert Kooperation und Teamarbeit gefördert Kundenorientierung gefördert Menschenführung und Verantwortung gefördert Selbstdarstellung und soziale Einflussnahme gefördert Sensibilität für Vielfalt gefördert Verhandlung gefördert Persönliche Kompetenzen Anpassung und Flexibilität gefördert Kreatives Denken geprüft Kritisches Denken gefördert Integrität und Arbeitsethik gefördert Selbstbewusstsein und Selbstreflexion gefördert Selbststeuerung und Selbstmanagement gefördert
Wahlfächer
Für das Master-Diplom in Angewandter Mathematik ist die folgende Zusatzbedingung (nicht in myStudies ersichtlich) zu beachten: Mindestens 15 KP der erforderlichen 28 KP aus Kern- und Wahlfächern müssen aus Bereichen der angewandten Mathematik und weiteren anwendungsorientierten Gebieten stammen.
Wahlfächer aus Bereichen der reinen Mathematik
Auswahl: Algebra, Zahlentheorie, Topologie, diskrete Mathematik, Logik
NummerTitelTypECTSUmfangDozierende
401-3059-00LKombinatorik IIW4 KP2GN. Hungerbühler
KurzbeschreibungDer Kurs Kombinatorik I und II ist eine Einführung in die abzählende Kombinatorik.
LernzielDie Studierenden sind in der Lage, kombinatorische Probleme einzuordnen und die adaequaten Techniken zu deren Loesung anzuwenden.
InhaltInhalt der Vorlesungen Kombinatorik I und II: Kongruenztransformationen der Ebene, Symmetriegruppen von geometrischen Figuren, Eulersche Funktion, Cayley-Graphen, formale Potenzreihen, Permutationsgruppen, Zyklen, Lemma von Burnside, Zyklenzeiger, Saetze von Polya, Anwendung auf die Graphentheorie und isomere Molekuele.
401-3033-00LDie Gödel'schen SätzeW8 KP3V + 1UL. Halbeisen
KurzbeschreibungDie Vorlesung besteht aus drei Teilen:
Teil I gibt eine Einführung in die Syntax und Semantik der Prädikatenlogik erster Stufe.
Teil II behandelt den Gödel'schen Vollständigkeitssatz
Teil III behandelt die Gödel'schen Unvollständigkeitssätze
LernzielDas Ziel dieser Vorlesung ist ein fundiertes Verständnis der Grundlagen der Mathematik zu vermitteln.
InhaltSyntax und Semantik der Prädikatenlogik
Gödel'scher Vollständigkeitssatz
Gödel'sche Unvollständigkeitssätze
LiteraturL. Halbeisen und R. Krapf: Gödel's Theorems and Zermelo's Axioms: a firm foundation of mathematics, Birkhäuser-Verlag, Basel (2020)
Auswahl: Geometrie
NummerTitelTypECTSUmfangDozierende
401-3533-70LTopics in Riemannian GeometryW6 KP3VU. Lang
KurzbeschreibungSelected topics from Riemannian geometry in the large: triangle and volume comparison theorems, Milnor's results on growth of the fundamental group, Gromov-Hausdorff convergence, Cheeger's diffeomorphism finiteness theorem, the Besson-Courtois-Gallot barycenter method and the proofs of the minimal entropy theorem and the Mostow rigidity theorem for rank one locally symmetric spaces.
Lernziel
SkriptLecture notes will be provided.
401-4207-71LCoxeter Groups from a Geometric ViewpointW4 KP2VM. Cordes
KurzbeschreibungIntroduction to Coxeter groups and the spaces on which they act.
LernzielUnderstand the basic properties of Coxeter groups.
LiteraturBrown, Kenneth S. "Buildings"

Davis, Michael "The geometry and topology of Coxeter groups"
Voraussetzungen / BesonderesStudents must have taken a first course in algebraic topology or be familiar with fundamental groups and covering spaces. They should also be familiar with groups and group actions.
401-3057-00LEndliche Geometrien II
Findet dieses Semester nicht statt.
W4 KP2GN. Hungerbühler
KurzbeschreibungEndliche Geometrien I, II: Endliche Geometrien verbinden Aspekte der Geometrie mit solchen der diskreten Mathematik und der Algebra endlicher Körper. Inbesondere werden Modelle der Inzidenzaxiome konstruiert und Schliessungssätze der Geometrie untersucht. Anwendungen liegen im Bereich der Statistik, der Theorie der Blockpläne und der Konstruktion orthogonaler lateinischer Quadrate.
LernzielEndliche Geometrien I, II: Die Studierenden sind in der Lage, Modelle endlicher Geometrien zu konstruieren und zu analysieren. Sie kennen die Schliessungssätze der Inzidenzgeometrie und können mit Hilfe der Theorie statistische Tests entwerfen sowie orthogonale lateinische Quadrate konstruieren. Sie sind vertraut mit Elementen der Theorie der Blockpläne.
InhaltEndliche Geometrien I, II: Endliche Körper, Polynomringe, endliche affine Ebenen, Axiome der Inzidenzgeometrie, Eulersches Offiziersproblem, statistische Versuchsplanung, orthogonale lateinische Quadrate, Transformationen endlicher Ebenen, Schliessungsfiguren von Desargues und Pappus-Pascal, Hierarchie der Schliessungsfiguren, endliche Koordinatenebenen, Schiefkörper, endliche projektive Ebenen, Dualitätsprinzip, endliche Möbiusebenen, selbstkorrigierende Codes, Blockpläne
Literatur- Max Jeger, Endliche Geometrien, ETH Skript 1988

- Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie I,II. Bibliographisches Institut 1983

- Margaret Lynn Batten: Combinatorics of Finite Geometries. Cambridge University Press

- Dembowski: Finite Geometries.
Auswahl: Analysis
NummerTitelTypECTSUmfangDozierende
401-4421-71LHarmonic AnalysisW4 KP2VA. Figalli
KurzbeschreibungThe goal of this class is to give an introduction to harmonic analysis, covering a series of classical important results such as:
1) interpolation theorems
2) convergence properties of Fourier series
3) Calderón-Zygmund operators
4) Littlewood-Paley decomposition
5) Hardy and BMO spaces
Lernziel
SkriptI plan to write some notes of the class.
LiteraturThere is no official textbook.
401-4475-71LMicrolocal AnalysisW6 KP3GP. Hintz
KurzbeschreibungMicrolocal analysis is the analysis of partial differential equations in phase space. The first half of the course introduces basic notions such as pseudodifferential operators, wave front sets of distributions, and elliptic parametrices. The second half develops modern tools for the study of nonelliptic equations, with applications to wave equations arising in general relativity.
LernzielStudents will be able to analyze linear partial differential operators (with smooth coefficients) and their solutions in phase space, i.e. in the cotangent bundle. For various classes of operators including, but not limited to, elliptic and hyperbolic operators, they will be able to prove existence and uniqueness (possibly up to finite-dimensional obstructions) of solutions, and study the precise regularity properties of solutions.

The first goal is to construct and apply parametrices (approximate inverses) or approximate solutions of PDEs using suitable calculi of pseudodifferential operators (ps.d.o.s). This requires defining ps.d.o.s and the associated symbol calculus on Euclidean space, proving the coordinate invariance of ps.d.o.s, and defining a ps.d.o. calculus on manifolds (including mapping properties on Sobolev spaces).

The second goal is to analyze distributions and operations on them (such as: products, restrictions to submanifolds) using information about their wave front sets or other microlocal regularity information. Students will in particular be able to compute the wave front set of distributions.

The third goal is to infer microlocal properties (in the sense of wave front sets) of solutions of general linear PDEs, with a focus on elliptic, hyperbolic and certain degenerate hyperbolic PDE. For hyperbolic operators, this includes proving the Duistermaat-Hörmander theorem on the propagation of singularities. For certain degenerate hyperbolic operators, students will apply positive commutator methods to prove results on the propagation of microlocal regularity at critical or invariant sets for the Hamiltonian vector field of the principal symbol of the partial differential operator under study.
InhaltTempered distributions, Sobolev spaces, Schwartz kernel theorem.

Symbols, asymptotic summation.

Pseudodifferential operators on Euclidean space: composition, principal symbols and the symbol calculus, elliptic parametrix construction, boundedness on Sobolev spaces.

Pseudodifferential operators on manifolds, elliptic operators on compact manifolds and Fredholm theory, basic symplectic geometry.

Microlocalization: wave front set, characteristic set; pairings, products, restrictions of distributions.

Hyperbolic evolution equations: existence and uniqueness of solutions, Egorov's theorem.

Propagation of singularities: the Duistermaat-Hörmander theorem, microlocal estimates at radial sets.

Applications to general relativity: asymptotic behavior of waves on de Sitter space.
SkriptLecture notes will be made available on the course website.
LiteraturLars Hörmander, "The Analysis of Linear Partial Differential Operators", Volumes I and III.

Alain Grigis and Johannes Sjöstrand, "Microlocal Analysis for differential operators: an introduction".
Voraussetzungen / BesonderesStudents are expected to have a good understanding of functional analysis. Familiarity with distribution theory, the Fourier transform, and analysis on manifolds is useful but not strictly necessary; the relevant notions will be recalled in the course.
Kompetenzen
 Fachspezifische Kompetenzen Konzepte und Theorien geprüft Verfahren und Technologien gefördert Methodenspezifische Kompetenzen Analytische Kompetenzen geprüft Entscheidungsfindung geprüft Medien und digitale Technologien gefördert Problemlösung geprüft Projektmanagement gefördert Soziale Kompetenzen Kommunikation geprüft Kooperation und Teamarbeit gefördert Kundenorientierung gefördert Menschenführung und Verantwortung gefördert Selbstdarstellung und soziale Einflussnahme gefördert Sensibilität für Vielfalt gefördert Verhandlung gefördert Persönliche Kompetenzen Anpassung und Flexibilität gefördert Kreatives Denken geprüft Kritisches Denken geprüft Integrität und Arbeitsethik gefördert Selbstbewusstsein und Selbstreflexion gefördert Selbststeuerung und Selbstmanagement gefördert
Auswahl: Weitere Gebiete
NummerTitelTypECTSUmfangDozierende