401-3032-22L Introduction to Model Theory

Semester	Spring Semester 2022
Lecturers	B. Brück
Periodicity	non-recurring course
Language of instruction	German

Abstract	This course is an introduction to model theory, a branch of mathematical logic. It will roughly follow the first four chapters of the book A Course in Model Theory - Katrin Tent and Martin Ziegler.
Learning objective	Das Hauptziel der Vorlesung ist es, grundlegende Begriffe und Techniken der Modelltheorie zu vermitteln. Es soll aber auch vermittelt werden, wie man diese in Beispielen aus anderen Bereichen der Mathematik (vor allem der Algebra) anwenden kann.
Content	Modelltheorie ist ein Teilgebiet der Logik. Sie befasst sich mit dem Zwischenspiel von Syntax (formale Sprachen, Aussagen und Formeln) und Semantik (Eigenschaften von Strukturen, z.B. aus der Algebra). Informell gesprochen bedeutet das: Gegeben eine Menge von formalen Aussagen, die durch kombinieren von Quantoren, logischen Verknüpfungen ("und", "oder"), sowie Funktionen und Relationen entstehen. (So eine Menge formaler Aussagen nennt man eine "Theorie".) Welche Eigenschaften haben dann Strukturen (Gruppen, Körper, Graphen,...), die all diese Aussagen erfüllen? (Solche Strukturen nennt man "Modelle" der Theorie.) Und lassen sich umgekehrt Eigenschaften der Theorie aus Eigenschaften ihrer Modelle folgern? Ein Beispiel hierfür ist der Hilbertsche Nullstellensatz. Er stellt eine algebraische Frage, die ganz grob lautet: "Wann besitzt eine System von Polynomen eine gemeinsame Nullstelle?" Diese Frage kann mit modelltheoretischen Methoden gelöst werden: Der Nullstellensatz folgt aus der Tatsache, dass die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper Quantorenelimination hat. Was das bedeutet und wie es Hilberts Satz beweist, wird in der Vorlesung erklärt werden. Inhalte der Vorlesung sind unter anderem: - Grundlegende Definitionen wie Sprache, Formel, Modell, Theorie - Grundlegende Beweismethoden wie Induktion über Komplexität einer Formel, Normalformen, back-and-forth - Kompaktheitssatz - Satz von Löwenheim-Skolem - Typen und ihre Realisierbarkeit, Kompaktheit als Eigenschaft des Raums der Typen - Quantorenelimination, Kriterien und Anwendungen wie Hilberts Nullstellensatz - Kategorizität von Theorien, vor allem im Fall abzählbarer Kardinalität - Beispiele, vor allem aus der Algebra
Literature	K. Tent & M. Ziegler, A course in model theory. Association for Symbolic Logic, La Jolla, CA; Cambridge University Press, Cambridge, 2012, 40, x+248. D. Marker, Model theory. An introduction. Springer-Verlag, New York, 2002, 217, viii+342. W. Hodges, Model theory. Cambridge University Press, Cambridge, 1993, 42, xiv+772.
Prerequisites / Notice	Für die algebraischen Beispiele werden Grundlagen benötigt, die z.B. in Algebra I vermittelt werden. Besondere Vorkenntnisse aus der Logik sind nicht nötig. Die Vorlesung ist trotz leichter Überschneidungen definitiv auch für Studierende geeignet, die schon eine Logikvorlesung wie "Die Gödel'schen Sätze" gehört haben.