Seminar über die Grundlagen der Theorie der Elliptischen Kurven.
Lernziel
Die Teilnehmenden sollen das Grundwissen über Elliptische Kurven erlernen, das insbesondere die Basis für eine Bachelor- oder Masterarbeit in der Zahlentheorie bilden kann. Es soll ein Vortrag gehalten und eine Ausarbeitung in Latex angefertigt werden.
Inhalt
Wir untersuchen zunächst die grundlegenden Eigenschaften elliptischer Kurven, wie z.B. das Gruppengesetz. Wir beschäftigen uns dann eingehender mit elliptischen Kurven über den rationalen Zahlen und der Frage nach rationalen oder ganzzahligen Punkten. Als eines der Hauptziele des Seminars wollen wir den Satz von Mordell-Weil beweisen, der besagt, dass die Menge der rationalen Punkte einer rationalen elliptischen Kurve eine endlich erzeugte abelsche Gruppe darstellt. Mithilfe der Theorie der elliptischen Funktionen werden wir außerdem zeigen, dass man eine elliptische Kurve über den komplexen Zahlen als Torus auffassen kann. Als Ausblick wollen wir schließlich tiefliegende Sätze und Vermutungen über elliptische Kurven skizzieren, wie zum Beispiel den Modularitätssatz von Wiles, der im Beweis von Fermats Letztem Satz eine entscheidende Rolle spielt, sowie die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer.
Literatur
Knapp: Elliptic Curves Koecher, Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen Milne: Elliptic Curves Silverman: The Arithmetic of Elliptic Curves Silverman, Tate: Rational Points on Elliptic Curves
Voraussetzungen / Besonderes
Grundkenntnisse der Algebra und der Funktionentheorie sind hilfreich.
Leistungskontrolle
Information zur Leistungskontrolle (gültig bis die Lerneinheit neu gelesen wird)
Leistungskontrolle als Semesterkurs