401-2654-00L  Numerical Analysis II

SemesterSpring Semester 2017
LecturersH. Ammari
Periodicityyearly recurring course
Language of instructionEnglish


AbstractThe central topic of this course is the numerical treatment of ordinary differential equations. It focuses on the derivation, analysis, efficient implementation, and practical application of single step methods and pay particular attention to structure preservation.
Learning objectiveThe course aims to impart knowledge about important numerical methods for the solution of ordinary differential equations. This includes familiarity with their main ideas, awareness of their advantages and limitations, and techniques for investigating stability and convergence. Further, students should know about structural properties of ordinary diferential equations and how to use them as guideline for the selection of numerical integration schemes. They should also acquire the skills to implement numerical integrators in MATLAB and test them in numerical experiments.
Content1 Einleitung
1.1 Anfangswertprobleme (AWP)
1.2 Beispiele und Grundbegriffe
1.2.1 Okologie
1.2.2 Chemische Reaktionskinetik
1.2.3 Physiologie
1.2.4 Mechanik
1.3 Theorie
1.3.1 Existenz und Eindeutigkeit von Loesungen
1.3.2 Lineare AWPe
1.3.3 Sensitivitaet
1.3.3.1 Grundbegriffe
1.3.3.2 Unser Problem: das Anfangswertproblem
1.3.3.3 Wohlgestelltheit
1.3.3.4 Asymptotische Kondition
1.3.3.5 Schlecht konditionierte AWPe
1.4 Polygonzugverfahren
1.4.1 Das explizite Euler-Verfahren
1.4.2 Das implizite Euler-Verfahren
1.4.3 Implizite Mittelpunktsregel
1.4.4 Stoermer-Verlet-Verfahren
2 Einschrittverfahren
2.1 Grundlagen
2.1.1 Abstrakte Einschrittverfahren
2.1.2 Konsistenz
2.1.3 Konvergenz
2.1.4 Das Aequivalenzprinzip
2.1.5 Reversibilitaet
2.2 Kollokationsverfahren
2.2.1 Konstruktion
2.2.2 Konvergenz von Kollokationsverfahren
2.3 Runge-Kutta-Verfahren
2.3.1 Konstruktion
2.3.2 Konvergenz
2.4 Extrapolationsverfahren
2.4.1 Der Kombinationstrick
2.4.2 Extrapolationsidee
2.4.3 Extrapolation von Einschrittverfahren
2.4.4 Lokale Extrapolations-Einschrittverfahren
2.4.5 Ordnungssteuerung
2.4.6 Extrapolation reversibler Einschrittverfahren
2.5 Splittingverfahren
2.6 Schrittweitensteuerung
3 Stabilitaet
3.1 Modellproblemanalyse
3.2 Vererbung asymptotischer Stabilitaet
3.3 Nichtexpansivitaet
3.4 Gleichmaessige Stabilitaet
3.5 Steifheit
3.6 Linear-implizite Runge-Kutta-Verfahren
3.7 Exponentielle Integratoren
3.8 Differentiell-Algebraische Anfangswertprobleme
3.8.1 Grundbegriffe
3.8.2 Runge-Kutta-Verfahren fuer Index-1-DAEs
3.8.3 DAEs mit hoeherem Index
4 Strukturerhaltende numerische Integration
4.1 Polynomiale Invarianten
4.2 Volumenerhaltung
4.3 Verallgemeinerte Reversibilitaet
4.4 Symplektizitaet
4.4.1 Symplektische Evolutionen Hamiltonscher Differentialgleichungen
4.4.2 Symplektische Integratoren
4.4.3 Rueckwaertsanalyse
4.4.4 Modifizierte Gleichungen: Fehleranalyse
4.4.5 Strukturerhaltende modifizierte Gleichungen
4.5 Methoden fuer oszillatorische Differentialgleichungen
Lecture notesLecture slides including supplements will be provided electronically.

Please find the lecture homepage here:

http://www.sam.math.ethz.ch/~grsam/FS17/NAII/index.html

All assignments and some previous lecture notes will be available for download on lecture homepage.
LiteratureNote: Extra reading is not considered important for understanding the
course subjects.

Deuflhard and Bornemann: Numerische Mathematik II - Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen, Walter de Gruyter & Co., 1994.

Hairer and Wanner: Solving ordinary differential equations II - Stiff and differential-algebraic problems, Springer-Verlag, 1996.

Hairer, Lubich and Wanner: Geometric numerical integration - Structure-preserving algorithms for ordinary differential equations}, Springer-Verlag, Berlin, 2002.

L. Gruene, O. Junge "Gewoehnliche Differentialgleichungen", Vieweg+Teubner, 2009.

Hairer, Norsett and Wanner: Solving ordinary differential equations I - Nonstiff problems, Springer-Verlag, Berlin, 1993.

Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen - Eine Einführung, Springer-Verlag, Berlin, 1972.

Walter: Ordinary differential equations, Springer-Verlag, New York, 1998.
Prerequisites / NoticeHomework problems involve MATLAB implementation of numerical algorithms.